Equació vectorial de la recta

Per determinar una recta en el pla són necessaris dos punts o bé un punt i un vector. Un vector director d'una recta és qualsevol vector que tingui la mateixa direcció que la recta donada.

Com donats dos punts podem fàcilment obtenir el vector que hi ha entre ells i quedar-nos amb un dels punts, suposarem a partir d'ara que tenim un punt i un vector.

Donats els punts $A = (3, 4)$ i $B = (-2, 6)$, obtenir el vector que va de $A$ a $B$ i el que va de $B$ a $A$. $$\overrightarrow{AB} = B - A = (-2, 6) - (3, 4) = (-2-3, 6-4) = (-5, 2) \\ \overrightarrow{BA}= A - B = (3, 4) - (-2, 6) = (3-(-2), 4-6) = (5,-2)$$

Donats un punt $P =(p_1,p_2)$ i un vector $\overrightarrow{v}=(v_1,v_2)$, podem descriure els punts $(x, y)$ de la recta que passa pel punt $P$ i té la direcció del vector $\overrightarrow{v}$ com: $$\begin{array}{rcl} (x,y) & = & P+k \cdot \overrightarrow{v} \\ (x,y) &=& (p_1,p_2)+ k \cdot (v_1,v_2)\end{array}$$ on $k$ és un paràmetre lliure (és a dir, una variable que a mesura que li donem valors reals qualssevol obtenim punts de la recta).

Escriu l'equació vectorial de la recta $r$ que passa pels punts $A=(3,4)$ i $B=(-2,6)$. $$\overrightarrow{AB}=(-2-3,6-4)=(-5,2)$$ Equació vectorial: $$(x, y) = A + k \cdot \overrightarrow {AB} = (3, 4) + k \cdot (-5, 2)$$