Equació general (o cartesiana o implícita) de la recta

Si a partir de l'equació contínua de la recta operem i agrupem termes obtenim: $$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{x-p_1}{v_1} &=&\frac{y-p_2}{v_2} \\ v_2(x-p_1) &=& v_1(y-p_2)\\ v_2 \cdot x-v_2 \cdot p_1&=& v_1 \cdot y-v_1\cdot p_2 \\ v_2\cdot x-v_1 \cdot y+(v_1\cdot p_2-v_2\cdot p_1)&=&0 \\ Ax+By+C&=& 0\end{array}$$

On evidentment,$$\begin{array}{rcl}A&=&v_2 \\ B&=& -v1\\ C&=& v_1\cdot p_2 - v_2 \cdot p_1 \end{array}$$Una propietat interessant d'aquesta equació és que $\overrightarrow {v}=(-B,A)$ és un vector director de la recta, i per tant $\overrightarrow{w}=(A,B)$ és un vector perpendicular a la recta.

Trobeu l'equació implícita de la recta $r$:$$\displaystyle \frac{x-3}{-5}=\frac{y-4}{2}$$

Operant i passant tots els termes de banda obtenim: $$\begin{array}{rcl} 2(x-3) &=& -5 (y-4) \\ 2x-6 &=& -5y+20 \\ 2x+5y-6-20 &=& 0 \\ 2x+5y-26&=&0\end{array}$$

Per tant l'equació implícita és $2x + 5y - 26 = 0$ i el vector $\overrightarrow{v} = (-5, 2)$ és un vector director de la recta.