Posicions relatives recta i pla

Per determinar les posicions relatives d'una recta $r (A'; \overrightarrow{v})$ i un pla $\pi(P;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, expressem la recta mitjançant les seves equacions implícites i el pla amb la seva equació general:

$$r: \left\{\begin{array} {rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 & = & 0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 &=& 0 \end{array}\right. \\ \pi: Ax+By+Cz+D=0$$

A continuació considerem el sistema format per les tres equacions i escrivim la matriu $M$ i la matriu ampliada $M'$ associades a aquest sistema:

$$M=\begin{pmatrix} A & B & C \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{pmatrix}$$

$$M'=\begin{pmatrix} A & B & C & -D \\ A_1 & B_1 & C_1 & -D_1\\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 \end{pmatrix}$$

Segons la compatibilitat del sistema tindrem una posició relativa o una altra:

Sistema Compatible

Determinat

$$rang(M) = rang(M') = 3$$

Sistema Compatible determinat. La recta i el pla són secants.

Indeterminat

$$rang (M) = rang (M') = 2$$

Sistema compatible indeterminat. Les solucions depenen d'un paràmetre. La recta està continguda en el pla.

Sistema Incompatible:

$$rang (M) = 2 \neq rang (M') = 3$$

Sistema incompatible. La recta i el pla són paral·lels.

Determina la posició relativa de la recta $r: (x, y, z) = (2,-1, 0) + k \cdot (1, 2, 1)$ i el pla $ \pi: (x, y, z) = (5, 0, 0) + l \cdot (3, 0, 1) + m \cdot (4,-1, 1)$

Comencem considerant la matriu les columnes són les components dels tres vectors directors (2 del pla i 1 de la recta) i trobem el seu rang:

$$ |M| = \left|\begin{matrix} 1 & 3&4 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right|=0$$

Per tant $rang (M) = 2$, i la recta estarà continguda o serà paral·lela al pla.

Per veure en quin cas estem, podem agafar un punt de la recta $P$ i mirar si pertany al pla $\pi$.

$$P=(2,-1,0)$$

Substituïm a $\pi$:

$$\begin{array}{rcl}2 &=& 5 + 3 \cdot l +4 \cdot m\\ -1 &=& -m \\ 0 & =& l+m\end{array}$$

Per tant $m = 1, l =-1$, i veiem que el punt no ho compleix.

Així, la recta i el pla són paral·lels.