Monotonia: creixement i decreixement

Observa la següent funció:

Observem que en l'interval $(-\infty, 0)$, en augmentar el valor de $x$ també augmenta el valor de $f(x)$. Diem llavors que la funció és estrictament creixent en l'interval $(-\infty, 0)$.

Una funció $f$ és estrictament creixent en un interval del seu domini si donats $x_1$ i $x_2$, pertanyents a l'interval, es verifica: $$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$$

D'altra banda, en l'interval $(0, +\infty)$, de la gràfica anterior, veiem que a mesura que augmenta el valor de $x$ disminueix el de $f(x)$. En aquest cas diem que la funció és estrictament decreixent.

Una funció $f$ és estrictament decreixent en un interval del seu domini si donats $x_1$ i $x_2$, pertanyents a aquest interval, es verifica que: $$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$$

Si una funció és únicament creixent o decreixent en un interval del seu domini diem que la funció és monòtona en aquest interval.

Tot i que hem definit funcions estrictament creixents o estrictament decreixents en un interval, també es pot definir funcions creixents o decreixents:

Una funció $f$ és creixent en un interval del seu domini si donats $x_1$ i $x_2$, pertanyents a aquest interval, es verifica que: $$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$$

Una funció $f$ és decreixent en un interval del seu domini si donats $x_1$ i $x_2$, pertanyents a aquest interval, es verifica que: $$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$$

Observem doncs que la diferència està en admetre $f(x_1)=f(x_2)$.