Esperança matemàtica

L'esperança matemàtica $E(X)$ és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat per la freqüència d'aquest procés, és a dir si tenim una variable quantitativa discreta $X$ amb $n$ possibles successos: $x_1,x_2,\ldots,x_n$ i probabilitats $P(X=x_i)=P_i$ l'esperança matemàtica és:

$$E(X)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot P(X=x_i)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+$$ $$+ \ldots +x_n\cdot P(X=x_n)$$

Quatre persones aposten $1€$ a que sortirà un número en un dau, cadascun a un nombre diferent. Llavors per cada euro apostat si es guanya rebran $3$ euros més. Sortirà a compte apostar en aquest joc?

La probabilitat de perdre $1€$ és $\displaystyle \frac{5}{6}$, ja que perdrem si no surt el nombre escollit.

En canvi la probabilitat de guanyar $3$ $€$ és de $\displaystyle \frac{1}{6}$.

Així l'esperança és: $$E(X)=\Big(-1 \cdot \displaystyle \frac{5}{6}\Big)+\Big(3 \cdot \frac{1}{6}\Big)=\frac{-5}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{2}{6}=\frac{-1}{3}\simeq-0.33$$

Per tant per cada euro apostat podem perdre 0,33 cèntims.

Es diu que aquest és un joc d'esperança negativa.

Diem que un joc és equitatiu quan l'esperança de benefici és $0$.

Si tenim un joc amb esperança de benefici positiva es diu que és un joc d'esperança positiva.