Equacions logarítmiques de primer grau

En una equació logarítmica hi ha una o diverses incògnites afectades per un logaritme.

$$\log x+4=6$$

Per resoldre aquest tipus d'equacions cal tenir presents les propietats dels logaritmes, que es resumeixen a continuació:

• $\log_a x^n=n\cdot \log_a x$
• $\log_a (x\cdot y)=\log_a x+\log_a y$
• $\displaystyle \log_a \Big( \frac{x}{y}\Big) =\log_ax- \log_a y$

Però a més, cal tenir en compte les dues regles relacionades amb les operacions amb equacions:

• $\log_a x= \log_a y \Rightarrow x=y $

És a dir, si tots dos membres d'una equació estan afectats per logaritmes en base $a$ es poden eliminar aquests últims i s'obté una equació equivalent.

• I, hem de recordar la definició de logaritme: $\log_a x=b \Rightarrow x=a^b$

O, el logaritme de base $a$ de $x$ igual a $b$, implica que $a$ elevat a $b$ és el nombre $x$.

Sabent aquestes dues regles ja es pot resoldre l'equació $\log x+4=6$.

En primer lloc, cal aïllar la $x$ en un membre i els termes independents en l'altre: $$\log x=6-4$$ S'opera el segon terme: $$\log x=2$$ I s'aplica la regla de passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté: $$x=10^2=100$$

Cal recordar que en passar a l'altra banda, la base de la potència ha de ser la mateixa que la del logaritme.

En l'exemple, l'equació conté un logaritme de base $10$ i, per tant, hem de conservar el $10$ com la base de la potència.

Si el logaritme fos en base $2$, la potència també ho seria. I si la base no ve especificada i el símbol utilitzat és és $\ln$ o tenim el símbol $e$, aleshores és el nombre $e$ que s'hauria d'utilitzar com a base.

$$\log 4x = \log 2+1$$ Primer, s'aïllen els logaritmes a un costat i el terme independent a l'altre:$$\log 4x- \log 2=1$$ Per la propietat del quocient dels logaritmes el primer terme es pot simplificar de la manera següent: $$\displaystyle \log \frac{4x}{2}=1$$

Ara el logaritme es pot passar a l'altra banda de la igualtat en forma de potència: $$\displaystyle \frac{4x}{2}=10^1 \rightarrow \frac{4x}{2}=10$$

En aquest punt l'expressió és una equació lineal amb una incògnita normal i corrent i, per tant, senzilla de resoldre. Podem simplificar el $4$ i el $2$ i obtenim: $$2x=10 \Rightarrow x=\displaystyle \frac{10}{2}=5$$

$$\log(2x+1)=\log x+2$$ Una opció per resoldre aquesta equació és seguir els mateixos passos utilitzats per a resoldre l'anterior: es deixen les incògnites a una banda i el terme independent a l'altre, de manera que: $$\log(2x+1)-\log x=2$$

Per la propietat de la diferència de logaritmes es pot agrupar el primer membre de manera que: $$\displaystyle \log \Big(\frac{2x+1}{x}\Big) = 2$$

Ara es pot passar el logaritme a l'altra banda de la igualtat, de manera que s'obté una equació lineal amb una incògnita: $$\displaystyle \frac{2x+1}{x}=10^2\Rightarrow \frac{2x+1}{x}=100 \Rightarrow 2x+1=100x \Rightarrow 2x-100x=-1 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow -98x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{98}$$

Una altra opció per a resoldre la mateixa equació, igualment vàlida, és tractar d'expressar el terme independent en forma de logaritme en base $10$.

Aleshores podem utilitzar la primera regla que hem introduït per obtenir la mateixa equació lineal amb una incògnita, que sabem resoldre. Però, com expressar $2$ com un logaritme? Plantejar una senzilla equació proporciona la resposta gairebé de forma immediata: $$\log x=2$$ És a dir, el logaritme decimal de quin número és igual a $2$? Per a això només cal aïllar $x$, tal com s'ha ensenyat prèviament: $$x=10^2=100$$ Ara, es pot plantejar una equació equivalent a la primera, però amb tots els membres dins del logaritme ($\log 100$ en comptes de $2$): $$\log(2x+1)=\log x +\log 100$$

S'agrupa el segon membre per la propietat de la suma de logaritmes: $$\log(2x+1)=\log(100x)$$ Ara es poden eliminar els logaritmes, de manera que s'arriba a una equació lineal amb una incògnita semblant a l'obtinguda anteriorment: $$2x+1=100x \Rightarrow 2x-100x=-1 \Rightarrow -98x=-1 \Rightarrow x=\displaystyle \frac{1}{98}$$

És important tenir en compte que a l'hora de treballar amb logaritmes hem d'aplicar-los a nombres positius. Així doncs, algunes solucions obtingudes de l'equació lineal poden no ser vàlides.

$$\log(x-7)-\log 2x=0$$ En aquest cas es pot tractar d'eliminar els logaritmes i obtenir una equació equivalent. Per a això, es passa el segon terme del primer membre a l'altre costat de la igualtat: $$\log (x-7)=\log(2x)$$

En aquest punt, es poden eliminar els logaritmes, de manera que queda una equació lineal amb una incògnita: $$x-7=2x \Rightarrow x-2x=7 \Rightarrow -x=7 \Rightarrow x=-7$$

Fins aquí tot sembla correcte, però en substituir el resultat en l'equació logarítmica inicial s'obtindran les següents expressions: $$\log(-7-7)-\log(2 \cdot (-7))=0 \Rightarrow \log(-14)-\log(-14)=0$$ El problema és que només existeixen els logaritmes de nombres reals positius. De manera que $x =-7$ no és una solució possible.

En aquests casos es diu que l'equació no té solució.