Equació diferencial ordinària (EDO)

Una EDO és una equació en què les incògnites són una o diverses funcions que depenen d'una variable independent. A més, per avaluar l'equació en un punt només ens cal conèixer el valor de les funcions incògnites i les seves derivades en aquest punt. Un altre tipus d'equacions no es diran ordinàries.

Un exemple seria l'equació: $y'=y$ on $y=y(x)$, és una funció d'una variable i per avaluar l'equació només ens cal conèixer $y$ i $y'$ en un punt.

L'ordre d'una EDO és l'ordre de la derivada d'ordre més alt que apareix en l'equació. Per exemple, en el cas anterior, l'ordre de l'EDO és $1$.

Existeix un resultat que ens diu que podem escriure qualsevol EDO com un sistema d'EDO's d'ordre $1$.

Així doncs sempre que ens referim a una EDO, l'escriurem com $y'=f(x,y)$ entenent que $y$ és potser un vector. Per exemple,

Si tenim l'EDO: $$\displaystyle 2 \cdot \frac{y'}{x^2}+5x^3=\frac{3y^2+5}{8x}$$ llavors la podem reescriure com: $$\displaystyle 2\cdot \frac{y'}{x^2}=\frac{3y^2+5}{8x}-5x^3 \Longrightarrow y'=\frac{3y^2x+5x}{16}-\frac{5}{2}x^5$$ de manera que $$\displaystyle f(x,y)=\frac{3y^2x+5x}{16}-{5}{2}x^5$$

Definim un problema de valors inicials (PVI) com el sistema: $$\left\{\begin{matrix}y' = f(x,y) \\ y(x_0) = y_0 \end{matrix}\right. $$ és a dir, busquem una funció que compleixi l'equació diferencial i, a més, passi per $y_0$ a $x_0$.

També ens preguntem si sempre hi haurà solució. Doncs bé, hi ha un resultat que ens garanteix l'existència i unicitat de solució d'un PVI si la $f$ que defineix el PVI és prou bona, només cal que sigui derivable.