Valor absolut d'un nombre real

Donat un nombre real $a$ definim el valor absolut de $a$, i el denotem per $|a|$, com el més gran entre els números $a$ i $-a$: $$|a|=max(a,-a)$$

$$|\sqrt{2}|=max(\sqrt{2},-\sqrt{2})=\sqrt{2}$$

$$|-\sqrt{2}|=max(-\sqrt{2},-(-\sqrt{2}))=max(-\sqrt{2},\sqrt{2})=\sqrt{2}$$

Com podem observar en l'exemple, el valor absolut d'un nombre positiu és el mateix, mentre que el valor absolut d'un nombre negatiu és el seu oposat, és a dir, escriure'l en positiu: $$|a|= \left\{ \begin{array}{c} a, \ \ \mbox{si} \ a \geq 0 \\ -a, \ \ \mbox{si} \ a < 0 \end{array} \right.$$

Propietats del valor absolut

Per a tot parell de nombres reals $a$ i $b$, es compleix que:

• $|a| > 0$ si $a\neq 0$, i $|0|=0$.
• $|a|=|-a|.$
• Desigualtat triangular: $|a+b|\leq |a|+|b|.$
• $|a\cdot b|= |a|\cdot |b|.$

I si $a$ és un nombre real qualsevol i $r$ és un nombre real positiu, la desigualtat $$|a| < r$$ equival a la cadena de desigualtats $$-r < a < r.$$