Estructura algebraica per a la suma i el producte de números racionals

Les operacions de suma i multiplicació tenen les següents propietats:

Per a la suma:

  1. Propietat associativa de la suma: donats tres nombres racionals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a+(b+c)=(a+b)+c$$

  2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $a$ i $b$ es compleix: $$a+b=b+a$$

  3. Element neutre: existeix un nombre racional, el $0$, que sumat a qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$a+0=a$$

  4. Element oposat: per a tot nombre racional $a$ existeix un altre nombre racional, que denotem $-a$, que al sumar-los ens donen el neutre $0$ com a resultat. Anomenarem $-a$ a l'element oposat de $a$.

Totes aquestes propietats, es resumeixen dient que el conjunt $\mathbb{Q}$ és un grup commutatiu o grup abelià amb l'operació $+$.

Per a la multiplicació:

  1. Propietat associativa: donats tres nombres racionals qualssevol $a,b$ i $c$, es compleix: $$a\cdot(b\cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$$

  2. Propietat commutativa: per a tot parell de nombres racionals $a$ i $b$ es compleix: $$a \cdot b=b \cdot a$$

  3. Element unitat: existeix un nombre racional, l'$1$, que multiplicat per qualsevol altre nombre real $a$, dóna $a$ com a resultat: $$1 \cdot a=a$$

  4. Element invers: per a tot nombre racional $a$ existeix un altre nombre real, que denotem $a^{-1}$, o bé $\dfrac{1}{a}$, que al multiplicar-los donen la unitat $1$ com a resultat.

Observem que totes aquestes propietats també ens defineixen el conjunt de nombres racionals com un grup abelià amb l'operació $\cdot$.

Existeix també una última propietat que relaciona la suma i el producte de nombres racionals:

Practicar exercicis