Hipèrbola equilàtera

Es diu equilàtera a la hipèrbola on $a=b$. D'aquí que l'excentricitat ha de valer $e=\sqrt{2}$.

Multiplicant per $a^2$ en l'expressió $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, s'arriba a l'equació $x^2-y^2= a^2$. En aquest cas les asímptotes serien $y=x$, $y =-x$.

Es pot observar que les asímptotes són ortonormals. Seria llavors interessant que poguessin coincidir amb els nostres eixos ortonormals. Per arribar a això només cal un gir de $45^\circ$. L'equació resultant $x \cdot y=\frac{a^2}{2}$ es pot expressar de la forma $\displaystyle y=\frac{k}{x}$ donant lloc a la figura següent:

Una altra expressió, en la qual la hipèrbola ja no estarà en el primer quadrant és $\displaystyle y=-\frac{k}{x}$, donant lloc a:

Donada la hipèrbola $y=-\frac{8}{x}$, trobar la seva excentricitat i la seva distància focal.

L'excentricitat és, per definició d'una hipèrbola equilàtera $e=\sqrt{2}$.

Identificar $\displaystyle k=8=\frac{a^2}{2}$, llavors $a= \sqrt{16}=4$.

Com que $a=b$, amb $c^2=a^2+b^2$ es troba $c= \sqrt{2 \cdot a^2}=a\sqrt{2}=4\sqrt{2}$.