Estudi de la hipèrbola
Una hipèrbola és la corba formada pel conjunt de punts del pla la diferència de distàncies a dos punts fixos, els focus, és constant: $\overline{PF}- \overline {PF'}=2a$
- Focus: Són els dos punts fixos $F$ i $F'$.
- Eix focal: És l'eix creat per la recta $FF'$ i la longitud és la distància focal.
- Distància focal o real: Distància del segment $\overline{FF'}=2c$.
- Eix secundari o imaginari: Eix format pel conjunt de punts equidistants de $F$ i $F'$. És per tant la mediatriu del segment $\overline{FF'}$.
- Centre: És el punt mig del segment $\overline{FF'}$. També és el punt on es creuen l'eix focal i l'eix secundari.
- Eixos de simetria: Tant l'eix focal com l'eix secundari són eixos de simetria.
- Vèrtexs: Els vèrtexs $A$ i $A'$ són els punts d'intersecció de l'eix focal amb la hipèrbola.
- Els vèrtexs $B$ i $B'$ s'obtenen de les interseccions de l'eix secundari amb el cercle de centre $A$ i de radi $c$.
- Per simetria també es troben amb el cercle de centre $A'$ i del mateix radi.
- Eix major: És l'eix creat pel segment $\overline{AA'}$ i de longitud $2a$.
- Eix menor: És l'eix creat pel segment $\overline{BB'}$ i de longitud $2b$.
- Relació entre semieixos: $c^2=a^2+b^2$.
- Radis vectors: Són els segments $PF$ i $PF'$, que uneixen els focus amb un punt de la hipèrbola.
- Asímptotes: Una hipèrbola té dues asímptotes d'equacions respectives $\displaystyle y=\frac{b}{a}x$ i $\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$.
Excentricitat
L'excentricitat ens dóna informació sobre l'obertura de les branques de la hipèrbola. $$\displaystyle e=\frac{c}{a}$$ Com $c\geq a$, dividint a banda i banda per $a$: $\displaystyle \frac{c}{a} \geq 1$.
S'identifica llavors l'excentricitat $e \geq 1$.
En el cas límit $e=1$ les branques són horitzontals. A mesura que l'excentricitat augmenta cada vegada són més verticals les branques de la hipèrbola com es veu amb $\displaystyle e=\frac{5}{4}, e=\sqrt{2}$ (Hipèrbola equilàtera) i $\displaystyle e=\frac{5}{3}$.