Binomi de Newton i triangle de Pascal

Binomi de Newton

El binomi de Newton és un algoritme que permet calcular una potència qualsevol d'un binomi. Per fer-ho, s'usen els coeficients binomials, que no són més que una successió de nombres combinatoris. La fórmula general del binomi de Newton és:

$$(a+b)^n = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} a^{n-1} b + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} a^{n-2} b^2 + \ldots +$$

$$\begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} a b^{n-1} + \begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix} b^{n} $$

Els nombres combinatoris que apareixen a la fórmula són precisament els anomenats coeficients binomials.

Per exemple:

$$\begin{array}{rl} (a+b)^4 =& \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} a^4 + \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} a^3 b + \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^2 b^2 + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} a b^3 + \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} b^4 \\ =& a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{array}$$

(En el cas que en el binomi figuri un signe menys, els signes del desenvolupament han d'anar-se alternant de la forma $+ \ -\ +\ -\ +\ -\ \ldots$)

Triangle de Pascal

Pascal va idear una manera senzilla de calcular nombres combinatoris (encara que en alguns textos aquesta idea s'atribueix a Tartaglia):

$$\begin{array}{ccccccccccc} & & & & & 1 & & & & & \\ & & & & 1 & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 2 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & & \\ & 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1 & \\ 1& & 5 & & 10 & & 10 & & 5 & & 1 \end{array}$$

El mètode rep el nom de triangle de Pascal i es construeix de la següent manera (per files i de dalt a baix):

• En el vèrtex es col·loca un $1$.
• Cada fila comença i acaba en $1$.
• Els altres números de la fila són sempre la suma dels dos que té just a sobre.

L'última fila, per exemple, ens donaria el valor dels nombres combinatoris consecutius:

$$\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}$$

El terme general del desenvolupament de $(a+b)^n$ ve donat per la fórmula:

$$\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{n-k}b^k$$

Segons això, en l'exemple del principi tindríem que el tercer terme seria (substituint $k = 2$, ja que la sèrie comença sempre per $k = 0$):

$$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} a^2 b^2=6a^2b^2$$

Aquesta fórmula permet calcular el valor d'un terme qualsevol sense necessitat d'efectuar tot el desenvolupament.

Per exemple, volem calcular el 20è terme del desenvolupament de $(x+y)^{30}$. Aplicant la fórmula:

$$\begin{pmatrix} 30 \\ 19 \end{pmatrix} x^{30-19} y^{19} = 54627300 x^{11}y^{19}$$