Mesura d'angles en graus, minuts i segons
El que caracteritza a un angle és l'obertura dels seus costats.Per tant és natural preguntar com es mesura tal obertura. Per mesurar un angle el que es fa és comparar-lo amb un altre que es pren com a unitat.
La unitat de mesura d'angle més usual és el grau sexagesimal, que consisteix en $\dfrac{1}{360}$ de l'angle complet. La mesura d'un angle en graus sexagesimals es designa amb el símbol $^\circ$.
Per exemple, un angle de $56^\circ$ és aquell que té com a obertura $56$ vegades una obertura d'un grau (la unitat).
Per fer-nos una idea, un grau correspon a l'obertura següent:
Així, per a un angle complet, que correspon a una volta completa que són $360^\circ$ ($360$ graus). És a dir:
Com es pot observar en el dibuix, una volta completa es divideix en $360$ parts, cadascuna d'elles és un grau i es designa com $1^\circ$. Així doncs, un angle complet són $360^\circ$, un angle pla són $180^\circ$ i un angle recte són $90^\circ$. Els angles aguts tenen menys de $90^\circ$ i els obtusos més de $90^\circ$, però menys de $180^\circ$.
En funció de la seva amplitud, a més podem donar nom a alguns angles específics.
- Angles congruents són aquells que tenen la mateixa amplitud,
- Angles complementaris aquells la suma de mesures és $90^\circ$,
- Angles suplementaris aquells la suma de mesures és $180^\circ$,
- Angles conjugats aquells tals que les mesures sumen $360^\circ$.
Un angle de $30^\circ$ té com a complementari un angle de $60^\circ$, com suplementari un de $150^\circ$ i com conjugat un de $330^\circ$.
Però, què passa quan tenim un angle menor que $1^\circ$?
Per poder parlar d'angles que mesuren menys que $1^\circ$, es consideren submúltiples del grau. De manera que ens estalviem treballar amb expressions del tipus:
- Aquest angle mesura mig grau
- Aquest angle mesura $0,76$ graus
Així doncs, el grau sexagesimal té submúltiples: aquests són el minut i el segon. El minut es designa $'$ i el segon $′′$.
La mesura d'un angle en graus, minuts i segons seria, per exemple, $84^\circ \ 17' \ 43 ''$. Es llegiria: un angle de $84$ graus, $17$ minuts i $43$ segons.
Vegem exactament què valen els minuts i els segons.
- Un minut és el resultat de prendre un grau i dividir-lo en $60$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $1$ minut $=\displaystyle \frac{1^\circ}{60}$ i per tant $60$ minuts $= 1^\circ$.
- Un segon és el resultat de prendre un minut i dividir-lo en $60$ parts iguals. És a dir, matemàticament s'expressa: $1$ segon $=\displaystyle \frac{1'}{60}$ i per tant $60$ segons $= 1$ minut.
Amb aquestes equivalències vegem quant val un grau en segons:
$$\left. \begin{array}{rcl} 1^\circ & = & 60' \\\\ 1' & = & 60'' \end{array} \right\} \Longrightarrow 1^\circ= 60 \cdot 60 ''= 3600 ''$$
Per passar de graus a minuts i segons treballarem sempre mitjançant factors de conversió. Això vol dir que utilitzarem el següent mètode:
Per exemple volem escriure $32^\circ$ en minuts i $21^\circ$ en segons.
$$32^\circ = 32 \ \mbox{graus} \cdot \dfrac {60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{grau}} = 32 \cdot 60 \ \mbox{minuts} = 1920 \ \mbox{minuts}$$
És a dir, sabem que $60$ minuts $= 1^\circ$, per la qual cosa $\dfrac{60 \ \mbox{minuts}}{1^\circ}=1$ i mitjançant aquest factor de conversió passem de graus a minuts.
El mateix en el cas de segons, sabent que $60 \ \mbox{segons}=1 \ \mbox{minut}$, si passem a dividir el terme de la dreta a l'altra banda queda: $\dfrac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}}=1$ que és el factor de conversió per passar de minuts a segons. Així,
$$21^\circ = 21^\circ \cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 ^\circ} \cdot \frac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}} = 21 \cdot 60 \cdot 60 \ \mbox{segons}=$$ $$=75.600 \ \mbox{segons}$$
Finalment, veurem algun exemple que ens permeti expressar quantitats donades en segons o minuts en graus.
Si tenim $460$ segons, llavors tenim: $$ 39600 \ \mbox{segons}= 39600 \ \mbox{segons} \dfrac{1 \ \mbox{minut}}{60 \ \mbox{segons}} = \dfrac {39600}{60} \ \mbox{minuts} =$$ $$= 660 \ \mbox{minuts} $$
Si ho volem expressar en graus: $$ 39600 \ \mbox{segons}=\dfrac {39600}{60} \ \mbox{minuts} \cdot \dfrac{1 \ \mbox{grau}}{60 \ \mbox{minuts}} = \dfrac {39600}{60·60} \ \mbox{graus} =$$ $$= 11 \ \mbox{graus} $$
Mesurant angles dibuixats
Els angles es poden mesurar mitjançant estris com ara el goniòmetre, el quadrant, el sextant o el transportador d'angles.
El més comú és el transportador d'angles que és una eina de dibuix que permet, a més de mesurar, construir angles.
Consisteix en un semicercle graduat amb què es poden mesurar angles de fins a $180^\circ$.