Expressar i operar amb temps en hores, minuts i segons
Expressar temps en hores, minuts i segons
Observem ara un rellotge:
Com podem veure el rellotge és una circumferència. Les dues agulles que ens marquen les hores (el minuter i la de l'hora) estan constantment fent formes anguloses, ja que tenen un punt en comú, que a més coincideix amb el centre de la circumferència.
Donada una circumferència podem escollir que una volta sencera sigui anomenada amb $360^\circ$ o $2\pi$ radiants. En aquest cas, prendrem com a mesura els graus. Així doncs, una volta sencera són $360^\circ$. Però que al mateix temps correspon a una hora de rellotge. Així doncs, una volta sencera que eren $360^\circ$, també pot ser entesa com una hora del rellotge.
Un cop establerta aquesta mesura del temps, veiem com es treballa amb ella. Per expressar quantitats de temps que no corresponen a un nombre exacte d'hores s'utilitzen com submúltiples la seixantena part d'una hora, que es diu minut i s'escriu amb $'$, i la seixantena part d'un minut, que es diu segon i s'escriu $''$. Això vol dir que $1h=60'$ i $1'=60''$.
És a dir: $$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minuts} = 60'$$
$$1 \ \mbox{minut} = 60 \ \mbox{segons} = 60''$$
Si volem, doncs, expressar una hora en segons cal fer factors de conversió, és a dir escriure els canvis com
$$1 \ \mbox{hora} = 60 \ \mbox{minuts}= 60 \ \mbox{minuts} \cdot \frac{60 \ \mbox{segons}} {1 \ \mbox{minut}}=$$ $$= 60 \cdot 60 \ \mbox{segons}= 3600 \ \mbox{segons}$$
Expressem diversos valors en minuts i segons:
$4$ hores en minuts és: $$ 4 \ \mbox{hores}=4 \ \mbox{hores}\cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{hora}}= 4 \cdot 60 \ \mbox{minuts} = 240 \ \mbox{minuts}$$
Mitja hora en segons: $$\frac{1}{2} \ \mbox{hora}=\frac{1}{2} \ \mbox{hora}\cdot \frac{60 \ \mbox{minuts}}{1 \ \mbox{hora}} \frac{60 \ \mbox{segons}}{1 \ \mbox{minut}}= $$ $$=\frac{60 \cdot 60}{2} \ \mbox{segons}= 1800 \ \mbox{segons}$$
Així doncs, quan tenim un minut i mig per exemple, escriurem $1$ minut i la meitat d'aquest que són $30$ segons, és a dir: $1 ' 30 ''$.
Si volem escriure $7$ hores i mitja doncs, escriurem $7$ i la mitja hora en minuts. Atès que una hora són $60$ minuts la meitat d'una hora seran la meitat de $60$ minuts que són $30$.
Així, set hores i mitja són $7h 30'$.
També podem fer el procés invers, és a dir, donat un nombre de segons determinar quin número de minuts i / o hores són.
Quants minuts són $1.020$ segons?
$$ 1020 \ \mbox{segons}= 1020 \ \mbox{segons} \cdot \frac{1 \ \mbox{minut}}{60 \ \mbox{segons}}=\frac{1020}{60} \ \mbox{minuts}= 17 \ \mbox{minuts}$$
Vegem què fer en el cas que no ens doni un resultat exacte.
Suposem que tenim $68$ segons.
A partir d'ara farem servir la notació estàndard de minuts $'$ i segons $''$ per agilitzar l'escriptura i també per acostumar-nos.
Usant factors de conversió ens dóna
$$ 68''=68'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{68'}{60}=1,13333'$$
Però expressar $68''$ com un nombre decimal de minuts no és massa útil. El que volem fer és expressar millor per exemple com $68'' = 60'' + 8'' = 1 ' 8 ''$ que són un minut i vuit segons.
Per poder expressar així, s'ha de prendre la part sencera del resultat, multiplicar per $60$ i restar a la quantitat original.
Això és:
En el cas anterior el resultat era $1,13333$, agafem la part sencera que és $1$.
La multipliquem per $60$ i ens dóna $60$.
Ara restem aquest $60$ a la quantitat original que era $68$.
Ens dóna $8$.
Per tant tenim $1 ' 8 ''$.
Expressarem el resultat com la part sencera més la resta.
Suposem que tenim $24355$ segons. Expressem-ho en hores, minuts i segons:
Primer ho anem a passar a minuts
$$ 24355'' = 24355'' \cdot \frac{1'}{60''}=\frac{24355'}{60}=405.9166'$$
Per tant, agafem la part entera d'aquesta divisió: és $405$ i el multipliquem per $60$: $$405\cdot 60= 24300$$
Ara, a la quantitat original li restem aquest número, obtenint: $$24355-24300=55 $$
Així doncs, tenim que $24355'' = 405 ' 55''$
Ara hem d'expressar els $405'$ en hores:
Mitjançant el factor de conversió: $$405'=405' \cdot \frac{1h}{60'}=\frac{405'}{60}=6,75h$$
Tornem a fer el procés. Agafem la part entera que és $6$. La multipliquem per $60$ i obtenim $6 \cdot 60=360$. A la quantitat original li restem aquesta: $405 '-360 ' =45$' Així doncs, $405 ' =6h 45'$ Per tant $24355'' = 6h 45 ' 55''$
Un cop sabem expressar les quantitats en hores, minuts i segons, aprendrem a fer operacions entre elles.
Operacions amb temps en hores, minuts i segons
Sumar
Primer és convenient que ordenem, segons amb segons, minuts amb minuts, hores amb hores...
Com sabem cada minut té $60$ segons, llavors en sumar segons tindrem:
$$15 \ \mbox{segons} + 10 \ \mbox{segons}= 25 \ \mbox{segons}$$ $$30 \ \mbox{segons} + 15 \ \mbox{segons}= 45 \ \mbox{segons}$$
Però
$$30 \ \mbox{segons}+ 45 \ \mbox{segons}= 75 \ \mbox{segons}$$
En aquest cas, nosaltres sabem que $60 \ \mbox{segons}= 1 \ \mbox{minut}$, si apliquem això al nostre exemple anterior tenim:
$$75 \ \mbox{segons}= 60 \ \mbox{segons}+ 15 \ \mbox{segons}$$
que és igual a $75 \ \mbox{segons}= 1 \ \mbox{minut}$ and $15 \ \mbox{segons}$
Ara si el nombre és molt alt, per exemple 1200 segons, el millor és dividir aquest número per $60$ per obtenir els minuts que representen. És a dir
$$\frac{1200}{60}={20}$$
és a dir $1200 \ \mbox{segons}= 20 \ \mbox{minuts}$.
De la mateixa forma per a la relació minuts hores. Cada hora consta de $60$ minuts.
Si tens $45 \ \mbox{minuts} + 25 \ \mbox{minuts}= 70 \ \mbox{minuts}$, és el mateix que
$$70 \ \mbox{minuts}= 60 \ \mbox{minuts}+ 10 \ \mbox{minuts}= 1 \ \mbox{hora i} \ 10 \ \mbox{minuts}$$
En cas de tenir resultats amb decimals, vegem-ne un exemple:
$750$ segons, quants minuts són?
Bé prenguem $750$ i dividim-ho per $60$ $$\frac{750}{60}=12,5$$
$$750 = 12 \ \mbox{minuts} + 0,5 \ \mbox{minuts}$$
Ara, la forma més fàcil de treure els segons que representen aquests $0,5$ és multiplicant per $60$ ($0,5$ està en minuts i per representar de forma correcta necessitem obtenir-ho en segons):
$0,5 \cdot 60 = 30$ segons. Aquest procediment és el que hem explicat abans.
Finalment tenim que:
$750$ segons $= 12$ minuts i $30$ segons.
$$\begin{array}{ccccc} \alpha & = & 74h & 16' & 54'' \\ \beta & = & 28h & 45' & 13'' \end{array}$$ $$\alpha + \beta = (74h \ 16' \ 54'')+(28h \ 45' \ 13'')=102h \ 61' \ 67''$$
Així, ens adonem que el que s'ha de fer un cop sumades les quantitats és revisar que si els segons sobrepassen $60$ els hem expressar en minuts i sumar-los als que ja tenim. I el mateix amb els minuts, que si sobrepassen de $60$ també haurem de passar-los a hores.
En el cas anterior tenim $67 ''$ que són $1 ' 7 ''$. Per tant reescrivim el resultat sumant un minut i deixant $7$ segons. $$103h \ 62' \ 7''$$
Però com tenim més de $60$ minuts, escrivim una hora més i deixem $2$ minuts (ja que tenim $62 '$). Per tant: $103 h \ 2' \ 7''$ és la suma d'aquestes dues quantitats.
A conseqüència d'això, ja sabem sumar expressions que vinguin en hores, minuts i segons. Només s'han de sumar les quantitats respectivament (hores amb hores, minuts amb minuts i segons amb segons) i després escriure el resultat assegurant-nos que en els segons sempre hi ha un nombre menor que $60$ i en els minuts també hi ha un nombre menor que $60$.
Restar
Què passarà amb la resta?
Procedirem de la mateixa manera, restarem la xifra de cada unitat amb la de cada unitat. L'únic problema que pot aparèixer és:
- Si la quantitat de segons a restar és major que la quantitat original de segons, el que hem de fer és:
- Restar un minut a la quantitat original de minuts.
- Augmentar la quantitat original de segons a $60$.
- Llavors procedirem a restar cadascuna de les quantitats.
$$4' 11'' -2' 47''$$ Atès que $11$ és menor que $47$, restem un minut a $4$ i afegim $60$ segons a $11$. La resta quedarà: $$3' 71''-2' 47''=1' 24''$$
Vegem un altre exemple que inclogui hores també:
$$4h \ 23' \ 11'' - 2h \ 47' \ 27''$$
En aquest cas $27$ és més gran que $11$ per la qual cosa restem un minut a $23$ que teníem i li sumem $60$ segons a $11$ que teníem: La resta ara és: $$4h \ 22' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27''$$
Però ara, ens adonem que en els minuts torna a passar el mateix, que $47$ és major que $22$ minuts de l'original, de manera que li restem $1$ hora a l'original i li sumem $60$ minuts. La resta ara és:
$$3h \ 82' \ 71'' - 2h \ 47' \ 27'' = 1h \ 35' \ 44''$$
Multiplicar
Aprenguem a multiplicar nombres expressats en hores minuts i segons per un nombre natural.
El procediment serà multiplicar cada un dels factors (els segons, els minuts i les hores) per aquest nombre natural i després reescriure el resultat de forma correcta, és a dir amb les xifres de segons i minuts menors de $60$.
$$\frac{\begin{array}{ccc} 3h & 12' & 45'' \\ & \times{} & 3 \end{array}}{\begin{array}{ccc} 9h & 36' & 135''\end{array}}$$
Per tant passem els $135 ''$ a minuts: $\dfrac{135}{60}=2,25$ agafem la part entera i multiplicada per $60$ la restem a $135$, és a dir:
$$135-2 \cdot 60 = 135-120=15$$
Així, hem de sumar $2$ minuts als $36$ que ja teníem i deixar $15''$.
Per tant el resultat és $9h \ 38' \ 15''$.
Dividir
En aquest apartat aprendrem a dividir nombres expressats en hores, minuts i segons per un nombre natural.
Per dividir un temps per un nombre natural:
- Es divideixen les hores entre aquest nombre i la resta es multiplica per 60 per passar-lo a minuts. Aquests se sumen als minuts del dividend.
- Es divideixen els minuts entre el nombre i la resta es multiplica per $60$ per passar-lo a segons. Aquests se sumen als segons.
- Es divideixen els segons entre el nombre.
El següent exemple ens permet fer la divisió del temps $34h \ 28 ' \ 44 ''$ entre $4$.
- Pas 1 Dividim les hores entre $4$. $$34 = 4 \cdot 8+2$$
El residu és $2$, per tant ho multipliquem per $60$ i el sumem als minuts. $$60 \cdot 2=120$$ Els sumem a $28$, $$120+28=148'$$
- Pas 2 Dividim els minuts entre $4$.
$$148=4\cdot 37 +0$$
El residu és $0$, de manera que no cal sumar-li res als segons.
- Pas 3 Dividim els segons entre el número $4$.
Finalment escrivim el resultat: $8h \ 37 ' \ 11''$