Angles: tipus d'angles, mesura i operacions
Diem que un angle és l'obertura que hi ha entre dues rectes (o segments) que es tallen en un punt anomenat vèrtex.
En aquesta figura podem observar l'obertura creada per les dues rectes (simbolitzada pels punts discontinus) i que representaria l'angle format.
Tipus d'angles
Observarem que hi ha diferents tipus d'angles. Els definim a continuació:
- Angle recte: és l'angle format per dues rectes disposades perpendicularment.
- Angle agut: és un angle menor que un angle recte.
- Angle pla: és l'angle format per dues rectes planes.
- Angle obtús: és un angle menor que un angle pla però més gran que un angle recte.
- Angle complet: és l'angle format per dues rectes superposades.
- Angle còncau: és un angle major que un angle obtús però menor que un angle complet.
Mesura d'angles
Els angles els mesurem amb graus i es simbolitza amb el signe $^\circ$ (Per exemple: $93$ graus ho expressem com $93^\circ$).
Per establir aquesta mesura dividim el que seria un angle complet en $360$ graus, i a partir d'aquesta definició podem saber quant mesura un grau.
Per entendre millor recordem que un angle complet és l'angle format per dues rectes que estiguin superposades:
Un angle complet és un angle de 360 graus:
Un cop establerta aquesta mesura, podem observar que:
- Un angle recte mesura $90^\circ$.
- Un angle agut mesura entre $0^\circ$ i $90^\circ$.
- Un angle pla mesura $180^\circ$.
- Un angle obtús fa entre $90^\circ$ i $180^\circ$.
- Un angle complet mesura $360^\circ$.
- Un angle còncau fa entre $180^\circ$ i $360^\circ$.
i també observem que:
- Dos angles rectes formen un de pla ($90^\circ+90^\circ = 180^\circ$).
- Dos angles plans formen un de complet ($180^\circ+180^\circ = 360^\circ$).
- Quatre angles rectes formen un de complet ($90^\circ+90^\circ+90^\circ+90^\circ = 360^\circ$).
Suma d'angles
Com podem veure, tenim llibertat per sumar angles, però, ¿què passa si en sumar-los superem un angle de $360$ graus?
Doncs bé, nosaltres hem definit els angles des del angle de $0^\circ$ fins al de $360^\circ$ i si ens fixem, la posició relativa de dues rectes en posicions de $0^\circ$ i de $360^\circ$ són semblants:
Això ens diu que si en sumar dos angles superem els $360^\circ$ podem buscar un angle d'entre $0^\circ$ i $360^\circ$ i que sigui semblant al de la suma.
Per exemple,
Si sumem un angle de $90^\circ$ més un de $360^\circ$, obtenim un de $450^\circ$, que és semblant a un de $90^\circ$
més =
Metòdicament, si fem una suma d'angles i supera els $360^\circ$, per obtenir l'angle semblant situat entre $0^\circ$ i $360^\circ$ hem de restar successivament $360^\circ$ fins a trobar un angle de com a màxim $360^\circ$.
Realitzem la suma dels angles $90^\circ, 180^\circ, 66^\circ, 25^\circ, 300^\circ, 21^\circ$ i $80^\circ$:
$$90^\circ+180^\circ+66^\circ+25^\circ+300^\circ+21^\circ+80^\circ = 762^\circ$$
i ara restem $360^\circ$ successivament fins a trobar un angle no major a $360^\circ$:
$$762^\circ - 360^\circ = 402^\circ$$ $$402^\circ - 360^\circ = 42^\circ$$
Per tant, la suma de tots els angles anteriors resulta un angle de $42$ graus.
Resta d'angles
De la mateixa manera que hem definit la suma de angle definit la resta d'angles.
Per exemple,
Un angle pla menys un angle recte és un angle recte:
menys =
Vegem què passa si en restar diversos angles hem obtingut un valor negatiu.
Però de la mateixa manera que amb la suma, el valor d'un angle negatiu és semblant al valor d'un angle d'entre $0^\circ$ i $360^\circ$ i per trobar-lo haurà prou amb anar sumant $360^\circ$ fins situar-nos en el rang desitjat (entre $0^\circ$ i $360^\circ$).
Realitzem la resta dels angles $0^\circ, 25^\circ, 36^\circ, 152^\circ, 180^\circ, 36^\circ$ i $90^\circ$:
$$0^\circ-25^\circ-36-152^\circ-180^\circ-36^\circ-90^\circ = -519^\circ$$
i successivament, anirem sumant $360^\circ$ fins arribar a un valor entre $0^\circ$ i $360^\circ$:
$$-519^\circ + 360^\circ = -159^\circ$$
$$ + 360^\circ = 201^\circ$$
Per tant, la resta de tots els angles anteriors resulta un angle de $201$ graus.
Bisectriu d'un angle
Direm que la bisectriu d'un angle format per dues rectes és l'angle format per una tercera recta que divideix l'angle original en dos angles idèntics.
En aquest dibuix podem veure que la recta vermella divideix l'angle format per les altres dues rectes per la meitat.
Per calcular l'angle format per la recta bisectriu, simplement s'haurà de dividir per dos el valor de l'angle inicial.
Donat un angle de $42^\circ$ trobar l'angle bisectriu.
Dividim per dos $42$ i trobem que:
$$\dfrac{42^\circ}{2}=21^\circ$$
Per tant, la recta bisectriu té un angle de $21$ graus.