Suma de los términos de una progresión geométrica

El objetivo es sumar los primeros $n$ términos de una progresión geométrica.

Tomamos la progresión geométrica de primer término $a_1=3$ y razón $r=2$. Denotamos $S_n$ la suma de los primeros $n$ términos, y calculamos el valor de $S_n$ para $n=1,2,3,\ldots,10$.

Los primeros diez términos son:

$$3,6,12,24,48,96,192,384,768,1.536$$

Y los valores de las sumas:

$$S_1=3$$

$$S_2=3+6=9$$

$$S_3=3+6+12=21$$

$$S_4=3+6+12+24=45$$

$$S_5=3+6+12+24+48=93$$

$$S_6=3+6+12+24+48+96=189$$

$$S_7=3+6+12+24+48+96+192=381$$

$$S_8=3+6+12+24+48+96+192+284=765$$

$$S_9=3+6+12+24+48+96+192+284+768=1.533$$

$$S_{10}=3+6+12+24+48+96+192+284+768+1.536=3.069$$

Tal como era de esperar (estamos sumando términos positivos), obtenemos un resultado cada vez mayor. Luego nos preguntamos: pueden llegar a ser tan grandes como queramos, o por contra, llegará un momento en que se estacionarán?

Consideremos ahora la progresión de primer término $a_1=7$, y razón $r=\dfrac{1}{3}$.

Escribimos los diez primeros términos:

$$7, \dfrac{7}{3}, \dfrac{7}{9}, \dfrac{7}{27}, \dfrac{7}{81}, \dfrac{7}{243}, \dfrac{7}{729}, \dfrac{7}{2.187}, \dfrac{7}{6.561}, \dfrac{7}{19.683}$$

Y calculamos las sumas:

$$S_1=7$$

$$S_2=7 + \dfrac{7}{3}=9,3$$

$$S_3=7 + \dfrac{7}{3}+ \dfrac{7}{9}=10,1$$

$$S_4=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}=10,37037$$

$$S_5=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}=10,45679012$$

$$S_6=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}+\dfrac{7}{243}=10,4855967$$

$$S_7=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}+\dfrac{7}{243}+\dfrac{7}{729}=10,4951989$$

$$S_8=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}+\dfrac{7}{243}+\dfrac{7}{729}+\dfrac{7}{2.187}=10,498699639$$

$$S_9=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}+\dfrac{7}{243}+\dfrac{7}{729}+\dfrac{7}{2.187}+\dfrac{7}{6.561}=10,49946654$$

$$S_{10}=7+\dfrac{7}{3}+\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{27}+\dfrac{7}{81}+\dfrac{7}{243}+\dfrac{7}{729}+\dfrac{7}{2.187}+$$

$$+\dfrac{7}{6.561}+\dfrac{7}{19.683}=10,49982218$$

Observemos que las sumas de esta segunda progresión son también cada vez mayores, pero su crecimiento no es tan rápido como el anterior ejemplo; de hecho, parece un crecimiento controlable: para los resultados obtenidos, las sumas se acercan cada vez más a $10,5$. Llegará en algún momento a superar este valor, o por lo contrario constituirá una cota superior a los valores $S_n$? Y en este caso, obtendremos una aproximación de $10,5$ tan buena como queramos si sumamos suficientes términos?

Consideremos ahora un caso teórico:

Si $a_1, a_2, \ldots ,a_n$ son los primeros $n$ términos de una progresión geométrica de razón $r$. Entonces,

$$S_n=a_1+a_2+\ldots +a_n= a_1+a_1\cdot r + \ldots + a_1 \cdot r^{n-1}$$

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por $r$, se obtiene:

$$r\cdot S_n=a_1\cdot r+a_1\cdot r^2 + \ldots + a_1 \cdot r^{n}$$

Restando miembro a miembro estas dos igualdades, obtenemos:

Es decir, nos queda que:

$$S_n - r\cdot S_n = a_1 - a_1 \cdot r^n$$

Por lo que:

$$S_n(1-r)=a_1(1-r^n) \Rightarrow S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$$

Recordando los ejemplos anteriores,

Si $a_n=3\cdot 2^{n-1}$, entonces, $$S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}=\dfrac{3(1-2^2)}{1-2}=3(2^n-1)$$

De tal forma que, si hacemos crecer $n$ indefinidamente, $S_n$ no dejará de crecer, ya que $2^n$ puede crecer indefinidamente, si escogemos una $n$ suficientemente grande.

Si en esta expresión sustituimos $n$ por cualquier valor, por ejemplo por $10$, encontraremos el resultado de sumar los primeros $10$ términos.

Por otra parte, si $b_n=\dfrac{7}{3^{n-1}}$, entonces, $$S_n=\dfrac{7\Big(1-\dfrac{1}{3^n}\Big)}{1-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{21}{2}\Big[1-\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^n\Big]$$

En esta ocasión, la base de la potencia n-ésima es menor que la unidad, lo que significa que aumentado el valor de $n$, $\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^n$ disminuye. Debido a esto, el valor de $S_n$ se estaciona para $n$ suficientemente grandes.