Indeterminación infinito/infinito
Supongamos que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(X)}=\pm \infty$ y $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=\pm \infty$, entonces tenemos que $ \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ , y así obtenemos una indeterminación.
Para saber el valor del límite tendremos que fijarnos en la expresión de cada función y encontrar el término de mayor orden. Una vez localizado, en función de su posición (arriba o abajo de la fracción) diremos que el límite es infinito, cero, o en caso de encontrarse en ambos lados de la fracción, el cociente de sus coeficientes principales.
Recordemos las principales funciones ordenadas según el orden de su infinito: $$\log_{r} x < < x^n << x^m << a^x << b^x << x^x \mbox{ donde } n< m \mbox{ y } b > a > 0$$
Veamos algunos ejemplos:
Si $b>a>0$ entonces $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^k+log_{r}x+a^x}{b^x-a^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{a^x}{b^x}}=0$
$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2+3^4x^3-x^4}{2x-\ln x+ x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x^4}{x^2}}=- \infty$
$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x-\log_{2}x}{x+1-3e^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2e^x}{-3e^x}}=-\frac{2}{3}$
$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{(1-x)\cdot 2^x}{(1+x^2)\cdot 2^x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-x \cdot 2^x}{x^2\cdot 2^x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{-1}{x}}=0$