Indeterminación 0 por infinito
Supondremos que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$ y $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}= \pm \infty$, entonces tendremos que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x) \cdot g(x)}= 0 \cdot \pm (\infty)$.
En otras palabras, nos estamos preguntando qué función tiende más rápido a su límite: $f(x)$ a cero, o $g (x)$ a infinito.
Para solucionar este tipo de indeterminaciones haremos un sencillo paso: $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x) \cdot g(x)}= \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{1}{\frac{1}{f(x)}} \cdot g(x)}= \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$$ y resolveremos el límite.
Veamos algunos ejemplos:
- $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x}{x^3-1}\cdot \ln x}=0 \cdot (+ \infty) \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x}{x^3-1}} \cdot \ln x=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x \ln x}{x^3-1}}=$
$$=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2x \cdot \ln x}{x^3}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2 \cdot \ln x}{x^2}}=0$$
$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x^{-x} \cdot 2^x}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{2^x}{x^x}}=0$
$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\ln x}{x +1} \cdot \frac{-x^2-1}{\ln x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\ln x \cdot (-x^2-1)}{(x+1) \cdot (\ln x-1)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{-x}=- \infty$