Indeterminación 0/0

Supongamos que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0$ y $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{g(x)}=0$, entonces tenemos que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}$ y nos aparece una indeterminación.

En este caso nos preguntamos qué función tiende más rápido al cero: si es $f(x)$, entonces el límite valdrá cero, y si es $g(x)$ entonces el límite valdrá infinito.

Fijémonos en que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{0}{0}$ implica que $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}}=\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ y hemos pasado de una indeterminacióc tipo cero partido por cero a una tipo infinito partido por infinito.

Veamos algunos ejemplos:

a) $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{x}{x^2-1}}{\frac{2+x}{x^2}}}=\frac{0}{0} \Rightarrow \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{x}{x^2-1}}{\frac{2+x}{x^2}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x \cdot x^2}{(x^2-1) \cdot (2+x)}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3}{x^3}}=1$

ya que $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a \cdot b}{b \cdot c}$

b) $\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{\frac{2+x}{\ln x}}{\frac{\ln x}{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x \cdot (2+x)}{\ln x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^2}{\ln x^2}}=+ \infty$