Integrales por fracciones simples

Un tipo de integral que nos podemos encontrar son aquellas integrales de una fracción polinómica.

$$\displaystyle \int \frac{x+4}{x^2-5x+3} \ dx$$

De modo más general, las integrales de la forma $\displaystyle \int R(x) \ dx= \int \frac{P(x)}{F(x)}$, donde $P(x)$ y $F(x)$ son polinomios.

En el caso en que grado $P(x) \geqslant$ grado $F(x)$, hay que realizar la división de polinomios para obtener $\displaystyle\frac{P(x)}{F(x)}=Q(x)+\frac{f(x)}{F(x)}$, donde grado $f(x))<$ degree $F(x)$, y entonces realizamos la descomposición en fracciones simples de $\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}$.

Descomposición en fracciones simples

Para descomponer una fracción polinómica en fracciones simples, primero debemos factoritzar en polinomis de grado $1$ y $2$ el polinomio denominador

Luego, igualamos la función a una suma de términos: dada $\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}$, descomponemos, como hemos visto en el tema de polinomios, $F(x)$ como producto de polinomios de grado $1$ y $2$:

$$F(x)=a_{m}x^m+a_{m-1}x^{m-1}+\ldots+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=$$

$$=a_{m} \cdot (x-a)^{\alpha} \cdot (x-b)^{\beta}\cdot \ldots (x^2+ox+q)^\rho\cdot(x^2+rx+s)^\lambda$$

donde $a$, $b$, etc son las raíces del polinomio, de multiplicidad $\alpha, \beta, \ldots$, y $p$, $q$, $r$, $s$ son coeficientes de los factores irreducibles de orden $2$.

Así, tomamos la igualdad siguiente:

$$\displaystyle\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a^2)}+ \ldots+\frac{A_{\alpha}}{(x-a)^\alpha}+\frac{B_1}{x-b}+\frac{B_2}{(x-b)^2}+$$

$$+\ldots+\frac{B_\beta}{(x-b)^\beta}+\frac{M_1x+N_1}{x^2+px+q}+\frac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^2}+$$

$$+\ldots+\frac{M_px+N_p}{(x^2+px+q)^p}+\ldots$$

donde $A$'s,$B$'s, $M$'s y $N$'s son incógnitas.

A continuación, realizamos la suma de todas esas funciones polinómicas, a partir del denominador común, e igualamos ésta suma a la fracción polinómica inicial, igualando los coeficientes de cada grado del numerador.

Una vez obtenidos los coeficientes, tenemos el integrando en forma de términos cuya integral será un logaritmo o arcotangente.

Procedimiento a seguir

1. Asegurar que el grado del numerador es mayor que el del denominador. En caso contrario, separar la fracción realizando la división de polinomios.
2. Descomponer en factores el polinomio denominador, sea por Ruffini o por cualquier otro método.
3. Escribir la fracción polinómica en forma de suma de fracciones como se ha descrito anteriormente, obteniendo varias constantes incógnitas.
4. Sacar factor común de los denominadores, y obtener un sistema de ecuaciones al igualar los términos del mismo grado.
5. Resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo las constantes.
6. Escribir la integral como suma de integrales de fracciones de grado 1 o 2, y resolverla, teniendo en cuenta que:

$$\displaystyle \int \frac{1}{x+a} \ dx=\ln|x+a|+C \\ \displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2} \ dx=\frac{1}{a} \arctan \Big(\frac{x}{a}\Big)+C$$

$$\displaystyle \int \frac{x}{x^2+a^2} \ dx=\frac{1}{2}\ln|x^2+a^2|+C$$

$$\displaystyle \int \frac{x-2}{(x-1)^2\cdot(x^2+1)} \ dx$$

Tenemos, en este caso,

$$\displaystyle \frac{x-2}{(x-1)^2\cdot(x^2+1)}=\frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{M_1·x+N_1}{x^2+1}=$$

$$=\dfrac{A_1(x^2+1)(x-1)+A_2(x^2+1)+M_1x(x-1)^2+N_1(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)}$$

Y operando, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{array} {ll} 0=A_1+M_1 \\ 0=A_2-A_1-2\cdot M_1+N_1 \\ 1=A_1+M_1-2 N_1\\-2=A_2-A_1+N_1\end{array}$$

Que al ser resuelto, nos da:

$$\begin{array}{ll} A_1=1 \\ A_2=-\frac{1}{2} \\ M_1=-1 \\ N_1=-\frac{1}{2}\end{array}$$

Y, por lo tanto,

$$\displaystyle \int \frac{x-2}{(x-1)^2\cdot(x^2+1)} \ dx = \int \frac{1}{x-1} \ dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-1)^2} \ dx + \int \frac{-x-\frac{1}{2}}{x^2+1} \ dx=$$

$$= \ln|x-1|+\frac{1}{6}(x-1)^{-3}-\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1} \ dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} \ dx =$$ $$= \ln|x-1|+\frac{1}{6}(x-1)^{-3}-\frac{1}{2}\ln|x^2+1|-\frac{1}{2}\arctan x+C$$

$$\displaystyle \int \frac{x^4-4x^2+x+1}{x^3+x^2-4x-4} \ dx$$

Realizando el proceso por pasos, tenemos que:

• El grado del numerador es mayor, con lo que hacemos la división polinómica, obteniendo el resultado de:

$$\displaystyle\frac{x^4-4x^2+x+1}{x^3+x^2-4x-4}=x-1+\frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4}$$

por lo que:

$$\displaystyle \int \frac{x^4-4x^2+x+1}{x^3+x^2-4x-4} \ dx = \int x-1 + \frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4} \ dx=$$

$$=\frac{x^2}{2}-x+\int \frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4} \ dx$$

y calcularemos:

$$\displaystyle\int \frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4} \ dx$$

• Descomponiendo, tenemos: $x^3+x^2-4x-4=(x+2)(x-2)(x+1)$

$$\displaystyle \frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4}=\frac{A_1}{x+2}+\frac{A_2}{x-2}+\frac{A_3}{x+1}=$$

$$= \displaystyle \frac{A_1(x-2)(x+1)}{x^3+x^2-4x-4}+\frac{A_2(x+2)(x+1)}{x^3+x^2-4x-4}+\frac{A_3(x-2)(x+2)}{x^3+x^2-4x-4}$$

$$\displaystyle\frac{x^2+x-3}{x^3+x^2-4x-4}=\frac{A_1(x^2-x-2)}{x^3+x^2-4x-4}+\frac{A_2(x^2+3x+2}{x^3+x^2-4x-4}+\frac{A_3(x^2-4)}{x^3+x^2-4x-4}$$

y, por lo tanto, tenemos:

$$\begin{array}{l} 1=A_1+A_2+A_3 \\ 1=-A_1+3A_2 \\ -3=-2A_1+2A_2-4A_3 \end{array}$$

• Del sistema de ecuaciones anterior, podemos obtener:

$$\begin{array} {l} A_1=\frac{-1}{4} \\ A_2=\frac{1}{4} \\ A_3=1 \end{array}$$

$$\displaystyle \int \frac{x^4-4x^2+x+1}{x^3+x^2-4x-4} \ dx = \frac{x^2}{2}-x+\int \frac{\frac{-1}{4}}{x+2} \ dx +\int \frac{\frac{1}{4}}{x-2} \ dx +\int \frac{1}{x+1} \ dx=$$

$$=\displaystyle\frac{x^2}{2}-x-\frac{1}{4}\ln|x+2|+\frac{1}{4}\ln|x-2|+\ln|x+1| +C$$