Cálculo de áreas del plano a partir del teorema de Green

Una herramienta muy potente en el cálculo integral es el teorema de Green. Consideremos un campo vectorial $F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))$, $C$ una curva cerrada en el plano y $S$ la superficie interior delimitada por la curva.

Entonces: $$\int_C F \ dr=\iint_S\big( Q_x-P_y \big) \ dx \ dy$$

La aplicación en el cálculo de áreas es el siguiente, considerar un campo tal que $Q_x-P_y=1$. Entonces el término de la derecha no es más que el área del recinto $S$. Por lo tanto, podremos calcularla haciendo una integral de línea en la frontera del recinto.

De campos que cumplan la propiedad $Q_x-P_y=1$ hay muchos, pero los más utilizados son:

• $F(x,y)=(0,x)$
• $F(x,y)=(-y,0)$
• $F(x,y)=(-y,x)$

Por ejemplo vamos a calcular el área delimitada por la curva parametrizada por: $$\alpha(\theta)=(3\sin(2\theta)\cdot\cos(\theta),3\sin(2\theta)\cdot\sin(\theta))$$

con $\theta\in\big[0,\dfrac{\pi}{2}\big]$.

Ahora tomamos el campo vectorial $F(x,y)=(0,x)$ e integramos el campo a lo largo de la curva $\alpha(\theta)$. Calculemos, pues: $$\alpha'(\theta)=(6\cos(2\theta)\cdot\cos(\theta)-3\sin(2\theta)\cdot\sin(\theta),6\cos(2\theta)\cdot\sin(\theta)-3\sin(2\theta)\cdot\cos(\theta))$$

y tenemos:

$$\begin{array}{rl} \text{Área}=& \iint_D 1 \ dx \ dy=\int_C F \ dr = \int_0^{\frac{\pi}{2}} F(\alpha(t))\cdot\alpha'(t) \ dt \\ =& \int_0^{\frac{\pi}{2}} (0,3\sin(2t)\cdot\sin(t)) \cdot (6\cos(2t)\cdot\cos(t)-3\sin(2t)\cdot\sin(t), \\ & \quad \quad \quad \quad 6\cos(2t)\cdot\sin(t)-3\sin(2t)\cdot\cos(t)) \ dt \\ =& \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3\sin(2t)\cos(t)\cdot (6\cos(2t)\cdot\sin(t)-3\sin(2t)\cdot\cos(t)) \ dt \\ = & 18\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(t)\cos(2t)\sin(t)\sin(2t) \ dt + 9\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2t)\cos^2(2t) \ dt \\ =& 9\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2t)\cos(2t) \ dt + 9\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2t)\Big(\dfrac{1+\cos^2(2t)}{2}\Big) \ dt \\ =& \dfrac{9}{2}\Big[\dfrac{sin^3(2t)}{3})\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+ \dfrac{9}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1-\cos(4t)}{2} \ dt +\dfrac{9}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2t)\cos(2t) \ dt \\ =& \dfrac{9}{8}\cdot\pi \end{array}$$