Concepto y expresión de una función

Concepto de función

Cuando utilizamos la palabra "depende" en el día a día estamos indicando una relación de dependencia, por ejemplo cuando decimos que el precio de una llamada depende de su duración.

Llamamos función $f$ que va del conjunto $A$ a el conjunto $B$ a una relación de dependencia en la cual a cada elemento $x$ del conjunto $A$ le corresponde un único elemento $y$ del conjunto $B$.

Se representa mediante la notación: $$\begin{array}{rcl}f: A &\longrightarrow &B \\\\ x &\longrightarrow &y=f(x) \end{array}$$ Al conjunto $A$ se le llama conjunto de salida, y al conjunto $B$, conjunto de llegada.

Si un elemento $x$ del conjunto $A$ se corresponde con un elemento $y$ del conjunto $B$, se dice que $y$ es imagen de $x$ por la función $f$, o que $x$ es antiimagen de $y$ por la función $f$.

Si tanto $A$ como $B$ son conjuntos de números reales, hablamos de función real de variable real.

Expresión analítica de una función

A veces una función se puede expresar mediante una fórmula que permite calcular las imágenes de los elementos del conjunto de salida y las antiimágenes de los elementos del conjunto de llegada.

Consideremos por ejemplo la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, que a cada número real $x$ le asigna su doble. Podemos representarlo con la $y=f(x)$ siguiente: $f (x) = 2x$ Ésta fórmula se conoce cómo expresión analítica de la función $f$.

Es equivalente a escribir $y = 2x$.

En este caso la variable $x$ recibe el nombre de variable independiente y la variable $y$ el nombre de variable dependiente.

Escribe la expresión analítica de la función f que asigna a cada número real el triple de su cuadrado disminuido en una unidad.

Sea $x$ un número real. El cuadrado de $x$ es: $$x^2$$

El triple del cuadrado de $x$ es: $$3x^2$$

El triple del cuadrado de $x$ disminuido en una unidad es: $$3x^2-1$$

Y por tanto tenemos:$$f(x)=3x^2-1$$