Transformación de EDO de orden n

Toda ecuación diferencial (de cualquier orden) se puede escribir en forma de sistema. Por lo tanto podremos resolver aquellas ecuaciones de orden $n$ que se escriban en forma de algún sistema que sepamos resolver, o sea, un sistema a coeficientes constantes.

Supongamos que tenemos una EDO de orden $n$, $$x^{n)}(t)+a_{n-1}(t) \cdot x^{n-1)}(t)+ \ldots + a_1(t) \cdot x'(t)+a_0(t) \cdot x(t)=f(t)$$

Definimos: $$\begin{array}{rcl} y_1 &=& x \\ y_2 &=& x' \\ y_3 &=& x'' \\ \ldots \\ y_n &=& x^{n-1)} \end{array}$$ Entonces $$\begin{array} {l} y_1'=x'=y_2 \\ y_2'=x''=y_3 \\ \ldots \\ y_n'=x^{n)}=f(t)-a_{n-1}(t) \cdot x^{n-1)}(t)- \ldots -a_1(t)\cdot x'(t)-a_0(t)\cdot x(t)= \\ =f(t)-a_{n-1}(t) \cdot y_n(t)- \ldots -a_1(t)\cdot y_2(t)-a_0(t)\cdot y_1(t)\end{array}$$ Obteniendo un sistema lineal de orden $1$. Como ya hemos dicho si es a coeficientes constantes, lo sabremos resolver.

Dar la solución, consistirá en dar la función $y_1(t)$, puesto que $x(t)=y_1(t)$.

Por ejemplo, consideremos la EDO de orden $5$: $$x^{5)}+21x^{3)}-2x''-x=2\cos t$$ Llamamos: $$\begin{array}{rcl} y_1 &=& x \\ y_2 &=& x' \\ y_3 &=& x'' \\ y_4 &=& x''' \\ y_5 &=& x^{4)} \end{array}$$

Así obtenemos el sistema: $$\begin{array} {l} y_1'=y_2 \\ y_2'=y_3 \\ y_3'=y_4 \\ y_4'=y_5 \\ y_5'=-21y_4+2y_3+y_1+2 \cos t \end{array}$$

que podemos escribir en forma matricial como: $$\begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ y_3' \\ y_4' \\ y_5' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & -21 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 2\cos t \end{pmatrix}$$

Este método de obtención de un sistema lineal es totalmente general. Aún así, teniendo en cuenta que sólo sabemos resolver sistemas a coeficientes constantes, este método sólo nos servirá para resolver EDO's de orden $n$ a coeficientes constantes (ya que con esta transformación nunca se obtiene un sistema triangular).