Cálculo de determinantes de orden 3: Regla de Sarrus

Véase ahora como calcular el determinante de una matriz $3 \times 3$ matrix. La regla de Sarrus es válida solamente para determinantes $3 \times 3$.

Tenemos nuestro determinante de una matriz $3 \times 3$ cualquiera, por ejemplo:

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

Volvemos a escribir las dos primeras filas ocupando unas hipotéticas cuarta y quinta fila respectivamente:

$$\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix}\\ 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}$$

Una vez hecho esto el cálculo del determinante es como sigue:

1. Multiplicamos los elementos por diagonales.
2. Las diagonales descendentes de izquierda a derecha llevan un signo $+$, mientras que las de derecha a izquierda, también descendentes, llevan el signo $-$.

$$\begin{matrix} \left| \begin {matrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4& 5 & 6 \end{matrix}\end{matrix}= 1 \cdot 5 \cdot 9+4 \cdot 8\cdot 3+7\cdot 2 \cdot 6 -3\cdot 5 \cdot 7 -6 \cdot 8 \cdot 1 - 9 \cdot 2 \cdot 4 = 0$$

Mira ahora el siguiente ejemplo,

$$\left|\begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \rightarrow \begin{matrix} \left|\begin{matrix} 9 & 1 & 5\\ 3 & 4 & 7\\ 8 & 2 & 0 \end{matrix}\right| \\ \begin{matrix} 9 & 1 & 5 \\ 3 & 4 & 7 \end{matrix}\end{matrix}= 9 \cdot 4 \cdot 0+3 \cdot 2 \cdot 5+8\cdot 1 \cdot 7 -5\cdot 4 \cdot 8 -7 \cdot 2 \cdot 9 - 0 \cdot 1 \cdot 3 =$$

$$= 86-286=-200$$

Como se ve el método es muy sencillo, aunque el número de operaciones a realizar es grande y la posibilidad de error en el cálculo también.

Existen ciertas propiedades que agilizan los cálculos, aunque es habitual también recorrer al uso de calculadoras potentes para el cálculo de determinantes.