Tasa de variación media

Sea la función $y=x^2$

Esta función cubre toda la recta real, pues a cada valor de $x$ asocia un valor de $y$ diferente. Uno puede, pues, definir un intervalo cualquiera en esta función.

Podemos elegir, por ejemplo, el intervalo cerrado $[1,4]$. En este intervalo, $x$ va creciendo desde un valor inicial, $1$, hasta un valor final, $4$. Su incremento total, que llamamos $\Delta x$, será pues $\Delta x=4-1=3$.

Si uno permanece en este intervalo parece interesante estudiar el valor de $y$. En un primer momento, $y=x^2=1^2=1$, mientras que al final del intervalo $y= x^2=4^2=16$. En este caso, pues, el incremento total no es $3$, sino $\Delta y=4^2-1^2=15$.

Se define tasa de variación media al cociente:$$\displaystyle TVM=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

En el ejemplo previo $TVM= 5$.

Evidentemente el concepto se generaliza para una función cualquiera $y = f (x)$, y un intervalo cualquiera $[a,a+\Delta x]$. La definición de tasa de variación media resulta, pues, $$\displaystyle TVM=\frac{y}{x}=\frac{f(a+x)-f(a)}{x}$$ En muchos libros de texto suele llamarse también $h$ al valor de $\Delta x$.