Ecuación de la hipérbola horizontal
En este apartado se tratarán las hipérbolas horizontales con el centro en un punto genérico $C(x_0,y_0)$.
El eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $F'(x_0-c,y_0)$ y $F(x_0+c,y_0)$.
Aplicando estos focos en la definición general de la hipérbola $\overline{PF}- \overline {PF'}=2a$ se obtiene la expresión $$\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}-\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}=2a$$
Al sumar la raíz, y elevando al cuadrado: $$\begin{array}{rcl} \Big(\sqrt{(x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2 & = & \Big(2a+\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\Big)^2 \\ (x-x_0+c)^2+(y-y_0)^2 & = & 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+ \\ & & +(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2 \\ (x-x_0)^2+2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2 & = & 4a^2+4a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}+ \\ & & +(x-x_0)^2-2(x-x_0)c+c^2+(y-y_0)^2\end{array}$$
Simplificando y dividiendo por cuatro: $$\begin{array}{rcl} 4(x-x_0)c & = & 4a^2+4a \sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2} \\ (x-x_0)c & = & a^2+a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2}\end{array}$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado: $$\begin{array}{rcl} (c(x-x_0)-a^2)^2 & = & (a\sqrt{(x-x_0-c)^2+(y-y_0)^2})^2 \\ c^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^4& = & a^2((x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \\ c^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^4& = & a^2((x-x_0)^2-2c(x-x_0)+x^2+(y-y_0)^2) \\ c^2(x-x_0)^2-2a^2c(x-x_0)+a^4 & = & a^2(x-x_0)^2-2ac(x-x_0)+a^2c^2+a^2(y-y_0)^2\\ c^2(x-x_0)^2 -a^2(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2 & = & a^2c^2-a^4 \\ (c^2-a ^2)(x-x_0)^2-a^2(y-y_0)^2& = &a^2(c^2-a^2) \end{array}$$
Se divide entonces por $a^2(c^2-a^2)$ para obtener un $1$ a la derecha: $$\begin{array}{rcl} \dfrac{(c^2-a ^2)(x-x_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}-\dfrac{a^2(y-y_0)^2}{a^2(c^2-a^2)}& = &1 \\ \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2}-\dfrac{(y-y_0)^2}{(c^2-a^2)}& = &1 \end{array}$$
Aplicando la definición $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada: $$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}= 1$$
Hallar la ecuación de la hipérbola de centro $C (2,3)$, vértice $A (2,6)$ y de foco $F (2,7)$.
La distancia focal $$c=7-3=4 \\ a=6-3=3$$ Con $c^2=a^2+b^2$, so $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$.
Sustituyendo en $$\displaystyle \frac{(x-x_0^2)}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1$$ e identificando $C(x_0,y_0)$, resulta $$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{9}-\frac{(y-3)^2}{7}= 1$$