Simplificación de expresiones con factoriales

Una expresión factorial se puede escribir utilitzando el recurso: $$n! = n \cdot (n-1)!$$

Esto permite simplificar términos cuando los factoriales aparecen en fracciones.

Por ejemplo, para calcular una expresión como: $$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}$$ debemos tener en cuenta que en el numerador $8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 8\cdot7\cdot6!$ (hemos detenido el desarrollo en el $6!$ porque es el término que aparece en el denominador y de esta forma lo podremos simplificar). De manera que $$\dfrac{8!}{6!\cdot3!}=\dfrac{8\cdot7\cdot\cancel{6!}}{\cancel{6!}\cdot3!}= \dfrac{8\cdot7}{3\cdot2}=\dfrac{28}{3}$$

Calculemos el valor de: $$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}$$ En este caso jugaremos con los desarrollos del numerador y denominador para tener la mayor ventaja en la simplificación, $14! = 14 \cdot 13!$ y $7! = 7\cdot6!$:

$$\dfrac{14!\cdot6!}{13!\cdot7!}=\dfrac{14\cdot \cancel{13!}\cdot \cancel{6!}}{\cancel{13!}\cdot7\cdot\cancel{6!}}=\dfrac{14}{7}=2$$

El mismo método puede utilizarse para expresiones literales (aquellas en las que en vez de números aparecen letras): $$\dfrac{x!}{(x-1)!}=\dfrac{x\cdot \cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}}=x $$

El ejemplo puede ser tan complicado como se quiera, pero la solución siempre será sencilla: $$\dfrac{(m-2)!\cdot x!}{(x-1)!\cdot m!}=\dfrac{(m-2)!\cdot x\cdot\cancel{(x-1)!}}{\cancel{(x-1)!}m\cdot (m-1)!}= \dfrac{\cancel{(m-2)!}\cdot x}{m\cdot(m-1)\cdot\cancel{(m-2)!}}= \dfrac{x}{m\cdot(m-1)} $$